Следует отметить, что уравнения впервые были установлены И. П. Ренне еще в 1949 г. Нами рассмотрен несколько отличным методом пластический изгиб с упрочнением материала изгибаемого бруса и установлены уравнения для определения тангенциальных и радиальных напряжений и нейтрального слоя напряжений. Из этих уравнений при условии равенства нулю модуля упрочнения получаются частные уравнения, с которыми полностью совпадают приведенные выше уравнения.

Распределение тангенциальных и радиальных напряжений по высоте изгибаемого бруса. Полученные решения не являются замкнутыми, так как неизвестна толщина изогнутого бруса.

Для установления зависимости между толщиной изгибаемого бруса до и после деформирования О. Гофман и Г. Закс провели рассмотрение его деформаций в процессе изгиба и приняли, что при чистом изгибе плоский элемент бруса перейдет в кольцевой сектор с внутренним радиусом, наружном радиусом и с углом я между боковыми гранями.

При дополнительном изгибе бруса внутренний радиус изменится и сделается равным, наружный станет равным, а угол а увеличится до величины. Увеличение угла представлено в виде поворота правой грани элемента на угол вокруг точки пересечения этой грани с нейтральным слоем напряжений.

Из условия равенства нулю суммы относительных деформаций элемента бруса получено дифференциальное уравнение, где радиальное перемещение элемента бруса; разница радиальных перемещений внутреннего и наружного слоя элемента толщиной В уравнении первое слагаемое выражает радиальную относительную деформацию, второе — тангенциальную относительную деформацию, обусловленную радиальным перемещением элемента и третье слагаемое — тангенциальную относительную деформацию, обусловленную тангенциальным перемещением.

Аксиальная деформация равна нулю.