Допустим, что при достаточно малой высоте бруса в сравнении с его длиной а напряжения не зависят от координаты. Тогда, взяв лишь одно первое уравнение, перейдя к обычным производным и проинтегрировав его по у в пределах и замечая, что не зависит, получим следующее приближенное уравнение равновесия. Отметим, что уравнение можно сразу же получить из первого уравнения, если перейти к обычным производным и допустить линейный закон распределения касательных напряжений по высоте бруска, т. е. положить.

Рассматривая эту задачу как случай плоской деформации в полярных координатах, поместим начало координат в вершине клина.

Допустим, что угол мал, что длина поковки велика в сравнении с ее средней высотой и что нормальные напряжения зависят только и не зависят.

Замечаем также, что и в этом случае касательные напряжения т, имея на контактных плоскостях максимальные значения, переходят через нулевое значение на продольной геометрической оси поковки. Для вывода приближенного уравнения равновесия воспользуемся первым из уравнений и проинтегрируем его в пределах.

Полагая, что нормальные напряжения от угла не зависят, что дает возможность перейти от частных к обычным производным, выполняя интегрирование и. подставляя пределы интеграции, находим следующее приближенное уравнение для плоской задачи в полярных координатах. Так же, как и в предыдущем случае, это уравнение может быть получено из первого уравнения подстановкой вытекающей из допущения о линейном распределении касательных напряжений по толщине поковки.

Следует отметить, что это же уравнение отображает процесс прокатки без уширения при условии замены, согласно А. И. Целикову, дуги валков — хордой.

ти выражения справедливы для всех точек тела, в том числе и для точек контактной поверхности.